间接测量系统模型的不确定度分析

发布于:2021-09-22 03:08:10

第 27 卷  第 4 期 2006 年 10 月  

计             量 学 报 ACTA   METROLOGICA   SINICA

Vol. 27 , № 4   October , 2006

间接测量系统模型的不确定度分析
潘光斌
1 ,2

, 陈光礻禹

1

函数关系 ,并结合一些实际的电学 、 力学参数计量检定实例 ,讨论了在不同的间接测量系统模型中测量不确定度的 评定方法 ,对 ISO 测量不确定度评定导则中给出的标准不确定度分析方法进行了补充和扩展 。 关键词 : 计量学 ; 间接测量系统 ; 函数模型 ; 测量不确定度 中图分类号 : TB9      文献标识码 : A      文章编号 : 100021158 (2006) 0420397203
Key words : Metrology ; Indirect measuring system ; Functional model ; Uncertainty

and the functional relations between system input and output , a method for evaluating various models uncertainty with the concern of some calibration and verification parameters of electron and mechanism is described. This can be used as an extends and complements to the contents of ISO G UM.

1    引 言

在校准测试工作中 ,常常用到间接测量的方法 ,

即建立起一定的函数关系 , 通过直接测得的值去估

计无法或很难测试的变量的方法 。通常的间接测量 系统模型由输入 x = { xi } 、 输出 y 之间的函数关系 决定 :
y = f ( x)

然而在实际工作中 , 除了这种存在直接明显的

函数关系的间接测量系统外 , 有的测量系统仅存在 隐式函数关系 g ( y , x ) = 0 , 有的系统输出结果为多 个变量 ,甚至还包含了复数输出 。而且 ,随着人工智
收稿日期 : 2005 - 03 - 28 ; 修回日期 : 2005 - 08 - 22

作者简介 : 潘光斌 (1973 - ) ,男 ,重庆万州人 ,中国工程物理研究院计量测试中心工程师 ,电子科技大学博士研究生 , 主要从事计量测试技 术及仪器方面研究 。pgb19730131 @sohu. com

(11 电子科技大学自动化学院 ,   四川 成都 610054 ;   1 中国工程物理研究院计量测试中心 ,   2 四川 绵阳 621900)

摘要 : 从间接测量系统模型化分析的角度出发 ,根据测试变量的数目 、 类型等特征 ,以及系统输出与输入间的

Uncertainty Analysis of Indirect Mea suring Syste m Mo dels
PAN Guang2bin ( 1)
1 ,2

Abstract : According to the different features of indirect measuring system models such as the number or the type of variable ,

(11College of Automatics , University of Electronic Science and Technology , Chengdu , Sichuan 610054 , China ; ) 21Metrology and Testing Center , China Academy of Engineering Physics , Mianyang , Sichuan 621900 , China

, CHEN Guang2ju

1

能技术的发展 ,模糊逻辑 、 神经网络等非参数建模方 法在间接测量系统模型的构建中也得到了日益广泛 的应用 。在 ISO 国际标准文件中 , 并没有直接给出 这些特殊测量系统的不确定度定义方法 , 但根据文 件中的基本准则 , 可以得出它们的不确定度评定方 法。

2  实变量测量系统模型分类及其不确

定度评定

   根据测量系统中输出结果的数目以及输出与输

入之间的函数关系等因素 , 可以大致将实数类型的 测试量统模型分为以下几类 。

398









2006 年 4 月

2. 1   单变量显式函数关系模型

其中 , M 是砝码的总重量 ,ρ 、m 分别为空气和砝码 a ρ 的密度 , gl 表示本地的重力加速度 , A 0 是天*在零 α 压力时的有效横截面积 ,λ 为形变系数 、 为温度系 数 , T 为温度 。系统中共有 8 个输入变量 , x = ( M , ρ ,ρ , gl , A 0 , λ,α, T) T , 测试输出 y = p 满足下 a m 式:
g ( y , x ) = A 0 p ( 1 + λ ) ( 1 + α( T - 20) ) p M ( 1 - ρΠ m ) gl = 0 a ρ
T T

在这种测量系统中 , 实数类型的测试结果与输 入数据 x = { x i ; i = 1 ,2 , …, n } 之间存在着如式 ( 1) 一样的明显的函数关系 , 在 ISO 标准文件中直接定 义了测量结果 y 的 ( 联合 ) 标准不确定度的评估方 法: 5f 5f ( u ( y ) = ∑∑ u x i , xj ) 5 x i 5 xj i =1 j=1
n n

2 c

( 2)

2. 2   多变量显式函数关系模型

2. 3   单变量隐式函数关系模型

式中的5 f Π x 是灵敏系数 , 而 u ( xi , xj ) 表示输入 xi 5
2

和 xj 之间的协方差 , 特别的 , 对同一变量的 u ( x i ,
x i ) = u ( x i ) ,即定义为 x i 的方差 。式 ( 2 ) 还可以用
2 T

把此式和式 ( 6) 结合起来就可以求出天*压力测量 中的不确定度 。
2. 4   多变量隐式函数关系模型

矩阵的方法更方便地进行描述 :
uc ( y ) = (
x

f ) Vx (

x

f)

( 3)

等式中的

x

f 是由灵敏系数构成的 n 维向量 , 表征

于测试输出 y 不是单一变量 , 而是一个 n 维向量 , 则 y 的协方差矩阵通过解下列方程求得 :
J y Vy J y = J x Vx J x
T

函数 f 对输入变量的一阶偏导 , Vx 是包含协方差值 的 n ×n 方阵 。

仍以上节讨论的压力测量为例 , 在其他条件固定的 情况下 ,在不同的砝码 M i 和不同的温度 Ti 条件下 测得一系列压力值 pi ,这时就必须用式 ( 8) 解线性方 程组 , 求出 y 的协方差矩阵 , 其中 x = (ρ ,ρ , gl , a m
A 0 , λ , α , T1 , M1 , …, Tn , M n ) , y = ( p1 , p2 , …, pn ) 。
T

在实际测量中 , 经常会遇到有多个测试输出的

情况 。例如 : 电路中的电阻 R 和电抗 X 是由测量通 过电路中的一个正弦波的幅度 U 、 电流 I 、 相移 φ 得 到的 ,其计算公式如下 :
U U R = cos < ;  X = sin < I I Vy = J x Vx J x
T
x

( 4)

系统模型中存在着显式的函数关系 y = f ( x ) ,

3  复变量测量系统模型分类及其不确

对模型归纳抽象可以得出一般的表征方式 , y = { y i ;
i = 1 ,2 , …, m } 表示 m 维的输出向量 , 在本例中 , x
T T = ( U , I ,φ) , y = ( R , X ) 。 y 的不确定度用包含协

定度评定

   目前 ,在很多测试领域 , 如微波参数校准 、 时域

方差值 u ( yi , yj ) 的矩阵 Vy 表示如下 :

反射测试等实际工作中 , 复数变量得到了越来越广 确定度评定方法和技术进行研究是非常重要的 。

( 5)

泛的应用 。因此 , 对不同复变量测量系统模型的不 定义 x 为一个用实部和虚部表示的复数 : x =
x R + j x I ,则 x 的不确定度表示为一个 2 × 的方阵 : 2 u ( xR )
2

式 ( 5) 中的 J x 是由函数 f 对输入变量的一阶导数组 成的 m ×n 矩阵 。

在这种测量系统中 , 单一测试输出与输入之间

不能以式 ( 1) 的确定函数关系进行表达 , x 和 y 之间 仅存在一种隐式的函数关系 g ( y , x ) = 0 , 此时 y 的 标准不确定度由下式计算 : 5g u ( y) =( 5y
2 c

示为一个 2 n × n 的方阵 : 2
V 11 V=

g) Vx (

x

g)

T

( 6)

例如力学计量中 ,天*产生的压力 p 由下式隐
M ( 1 - ρ Π m ) gl a ρ ( 1 + λ ) ( 1 + α( T - 20) ) A0 p

含计算 :

其中 V ii 是包含 xi 的不确定度的 2 × 阶子矩阵 , V ij 2

p=

( 7)

则是包含 x i 、j 实部 、 x 虚部之间协方差的 2 维方阵 。

这种模型与 213 节中讨论的系统的唯一区别在
( 8)
u ( xR , x I) u ( xI)
2

V=

u ( xR , x I)

( 9)

如果 x 是一个 n 维的向量 ,则 x 的不确定度表 … V1 n … … V nn





( 10)

V n1

第 27 卷   4 期 第

潘光斌等 :   间接测量系统模型的不确定度分析

399

虽然复变量系统不确定度的表达和计算比实数测量 时要复杂 ,但其评定的基本思路是相同的 ,下面结合 具体实例进行简单的介绍 。
3. 1   显式函数关系模型

越多地引入了神经网络建模方法 。这种方法不需要 对象的先验知识 , 回避了传统回归建模方法需事先 确定回归模型结构的难点 。 但由于神经网络模型为非参数模型 , 没有函数 关系 ,只存在辨识模型 y = g ( x1 , x2 , …xi …, x n ) ,公 式 ( 1) 中的灵敏系数无法由偏导直接求出 ,只能由下 式的差商公式*似计算 : 5f ≈ 5 xi

例如在用自动网络分析仪 (ANA) 进行散射 S 参 数的测量时 ,计算公式为 :
S 21 = b2 a1

( 11)

式中的 b2 、1 分别表示传输波 、 a 入射波 ,都为复数形 式 ,测量在无负载阻抗的条件下进行 。系统满足式
( 1) 的显式函数关系 , 输出单一的测量结果 , 对这种

g ( x1 , x2 , …, ( xi +Δ xi ) , …, xn ) - g ( x1 , x2 , …, xi , …, xn ) g ( x1 , x2 , …, ( xi +Δ xi ) , …, x n )

测试模型 ,其不确定度的表征方法在形式上与式 ( 5) 相同 ,但在计算中 , J x 是一个 2 ×n 阶矩阵 , 它的两 行元素分别表示测量值 x 的实部 、 虚部与标准值 f 实部 、 虚部之间的偏差 。采用上述方法 , 对一个 50 Ω 微波电阻的 S 参数测量结果的不确定度进行评 定 ,所得结果为 :
V=

( 13)

在实际评定过程中 , 右边的差商可以由系统相邻的
) 两次输入输出*似获得 ,也可以给模型 g ( ?的一个

输入 x i 以一个很小的增量 Δ xi ,计算出相应的模型 输出 g ( x1 , x2 , …, ( xi + Δx i ) , …, x n ) , 从而得到差 商。

3. 2   隐式函数关系模型

复变量隐式测量系统输出 y 的不确定度计算 公式为 :
(
y

g) Vy (

式中 :

y

g 是一个包含变量 g 和 y 实部 、 虚部之间

偏差的 2 阶方阵 。
T

以上节的反射系数测量为例 , 设输入 x = ( b2 ,
a1 ) ,测量模型也可以隐式地表示为 : g ( y , x ) = b2

- S 21 ? 1 = 0 。 a

采用隐式函数进行计算的优点在于 : 测量系统 中的偏差和灵敏系数更容易计算 , 从而减少了运算 量 ,提高了分析处理的效率 。多维输出时的不确定 度计算方法与单变量时类似 , 区别仅在于矩阵和向 量的维数有所不同 。

4  非参数模型的不确定度估计
现在 ,随着人工智能技术的发展 ,对于很多输入 输出关系复杂 、 影响因素众多的间接测量系统 ,越来

  1032 0
- 01021
T
y

g) = (

- 01021

  1036 0
x

5  结束语

随着现代科学技术的飞速发展 , 给计量测试工 作提出了越来越高的新要求 。现在 , 各种间接测量 系统在校准 、 测试工作的应用越来越广泛 , 因此 , 通 过系统建模的方法 , 对间接测量系统的不确定度进 行评定 ,是一个有待于深入探讨的科研领域 。本文 在这方面作了一些探索研究工作 , 并进行了一些总 结讨论 。
[

g) Vx (

x

g)

T

( 12)









]

[1 ]  International Organization for Standardization , Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement[ S] . 1993. [2 ]   施昌彦 . 现代计量学概论 [ M ] . 北京 : 中国计量出版

社 ,2003.

[3 ]   王中宇 ,夏新涛 ,朱坚民 . 测量不确定度的非统计理论 [M] . 北京 : 国防工业出版社 ,2000. [4 ]   威廉 R A. 频谱和网络测量 [M] . 北京 : 科学技术文献

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[5 ]   刘智敏 . 不确定度及其实践 [M] . 北京 : 中国标准出版

社 , 2000.


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