【县级公开课教学设计】《同角三角函数的基本关系》教案

发布于:2021-10-20 11:53:12

县级公开课教学设计 《同角三角函数的基本关系》 教学目标: 1、知识目标:理解同角三角函数的基本关系;能正确运用同角三角函 数的基本关系式进行求值、化简和证明. 2、能力目标: 牢固掌握同角三角函数的两个关系式,并能灵活运用 于解题,提高学生分析、解决三角的思维能力. 3、情感目标:是学生在学*基本关系的过程中,体验数学研究的乐趣, 激发学生学*数学的兴趣. 教学重点: 同角三角函数的基本关系式 教学难点: 三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程: 一、问题引入 填写下表(口答) ? sin ? cos ? tan? ? 2 2 4 2 2 1 ? 3 1 3 3 2 2 5? 6 1 ?3 ?3 2 2 3 ? 0 1 0 观察:你能从中找出 sin? 、cos? 、tan? 之间的关系吗?如何证明?(提问) 猜想: sin2 a + cos2 a = 1 1 sin a = tan a cos a 证明方法:(1)任意角三角函数的定义;(2)三角函数线 说明:引导学生通过特殊角的三角函数值发现同角三角函数的两个基本关 系,体会从特殊到一般的过程。利用定义或者三角函数线证明所得猜想, 对已学知识进行巩固,同时认识到数学应严谨。 二、新课讲解 (一)同角三角函数的基本关系 (板书)*方关系: sin2 a + cos2 a = 1 商数关系: sin a = tan a (a ? p kp, k ? Z) cos a 2 说明:同一个角的正弦、余弦的*方和等于 1;商等于这个角的正切。 辨析:设?, ? 为任意角,下列结论正确的是( C )(口答) A. sin? ? 1 且 cos? ? 1 2 2 C. sin2 (? ? 30o) ? cos2 (? ? 30o) ? 1 B. sin2 ? ? cos2 ? ? 1 D. sin? 2 + cos? 2 =1 说明:(1)角相同; (2)对“任意”一个角,关系式成立与角的表达形式无关。 思考:如果把这三个函数值看成为三个未知数,那么基本关系可以如何理 解?至少需要知道几个量才能确定剩余量?(知一求二) (二)同角三角函数的基本关系的应用 例 1:已知 sin? ? ? 3 ,且? 为第三象限角,求 cos? 、 tan? 的值.(口答) 5 解:∵ sin? ? ? 3 ,∴ cos2 a = 1- sin2 a = 1- (- 3)2 = 16 5 5 25 ∵? 为第三象限角,∴ cos a = - 4 , tan a = sin a = 3 5 cos a 4 思考:已知正弦值,如何求余弦值和正切值?(引导学生归纳) (先通过*方关系求余弦值,在利用商数关系求正切。) 2 已知正切值呢?(方程思想) 变式:已知 tan? ? 2 ,求 sin? 、 cos? 的值.(学生板演) 解:∵ sin? ? tan? ? 2 ,∴ sin? ? 2cos? cos? ∴ sin2 a + cos2 a = 4cos2 a + cos2 a = 5cos2 a = 1,∴ cos2 a = 1 5 ∵ tan? ? 2 ? 0,∴? 为第一象限角或第三象限角 当? 为第一象限角时, cosa > 0 ,∴ cos a = 5 , sin a = 2 5 ; 5 5 当? 为第三象限角时, cosa < 0 ,∴ cos a = - 5 , sin a = - 2 5 ; 5 5 说明:先定象限,后求值。 变式 2:已知 tan? ? 2 ,求 sin? ? cos? 的值.(集体探究,口答) sin? ? cos? 方法一:变式结果代入; 方法二: sin? ? 2cos? , sin? ? cos? ? 2cos? ? cos? ? 3 (切化弦) sin? ? cos? 2cos? ? cos? sin? ? cos? 方法三: sin? ? cos? sin? ? cos? ? cos? sin? ? cos? ? tan? ?1 ? 3 (弦化切) tan? ?1 cos? 思考:若求 sin2 ? ? cos2 ? 的值?若求 sin? ? cos? ?1 的值? sin2 ? ? cos2 ? sin? ? cos? 总结:1、观察条件与结论之间的差异,从而确定转化方向;2、齐次式— —弦化切。 例 2、求证: 1 + 1 = 2(tan2 a + 1) 1- sin a 1+ sin a 证明:左边 = 2 1- sin2 a = 2 cos2 a ,右边 = sin2 a 2(cos2 a + 1) = 2 cos2 a ∴左边=右边,∴等式成立 思考:还能如何证明? 简单的三角恒等式的证明思路: (1)从一边开始,证明它等于另一边; (2)证明左右两边等于同一个式子; 3 (3)逐步寻找等式成立的条件,达到由繁到简。 思 考 : 对 于 * 方 关 系 sin2 ? ? cos2 ? ?1 可 作 哪 些 变 形 ? 对 于 商 数 关 系 sin? ? tan? 可作哪些变形? cos? (板书) sina = ? 1 cos2 a , cosa = ? 1 sin2 a sin a = tan a cosa , cos a = sin a tan a ,1 cos2 a = 1+ tan2 a (sin a + cos a )2 = 1+ 2sin a cos a , (sin a - cos a )2 = 1- 2sin a cos a 三、能力提升 已知 sin? ? cos? ? 1 ,且? ?(0,? ) ,求 sin? ? c

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